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il y a 12 minutes
L’astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) est considéré par beaucoup comme l’un des plus grands scientifiques de l’histoire.
Célèbre pour avoir été le premier à décrire correctement le mouvement des planètes autour du Soleil, avec des orbites elliptiques plutôt que circulaires, et pour avoir découvert les trois lois principales du mouvement planétaire, qui pour lui n’étaient pas des lois mais des harmonies célestes.
Outre de nombreux autres succès, il écrit l’une des premières œuvres de science-fiction « Somnium » (« Le Rêve ») dans laquelle il décrit un voyage sur la Lune.
Cependant, il a été confronté à un certain nombre de défis. Il a dû défendre sa mère contre les accusations de sorcellerie, il avait peu de ressources économiques et sa carrière a souffert de sa foi luthérienne.
Mais en 1611, un autre problème tourmentait le savant : il lui fallait une épouse.
Le premier est décédé, le laissant avec des enfants à élever et une maison à gérer.
C’est un mariage de convenance qui l’unit à une femme au caractère abominable, comme il le disait lui-même, « grosse et naïve ».
Cette fois, il voulait s’assurer que les choses allaient mieux.
En tant que scientifique, il définissait le nombre fini de candidats – 11 – et prenait des notes pendant le processus de sélection de deux ans, comme le raconte l’auteur Alex Bellos dans « Les raisins des mathématiques ».
Le premier candidat, écrit-il, avait « une haleine puante ».
La seconde « avait grandi dans un luxe qui était au-dessus de sa position sociale ».
La troisième était fiancée à un homme qui avait eu un enfant avec une prostituée.
La quatrième femme était « grande et athlétique » et il l’aimait bien, mais il voulait voir la cinquième avant de se décider car il avait entendu de grandes choses à son sujet.
Il hésita tellement qu’ils perdirent tous deux tout intérêt.
La 6 était une grande dame et « craignait les dépenses liées à un mariage somptueux ».
Il aimait beaucoup le 7 mais, dans son empressement à retrouver ce qui lui manquait, il le fit attendre… et le perdit.
Il n’aimait pas beaucoup le 8 ; le 9ème âge maladif ; le 10e avait une silhouette qui ne convenait pas « même à un homme aux goûts simples » et le 11e était trop jeune.
« Est-ce la Divine Providence ou ma culpabilité morale qui, pendant deux ans ou plus, m’a emmené dans des directions si différentes et m’a fait envisager la possibilité d’unions si différentes ?
Des siècles plus tard, ce processus de choix se formalisera sous la forme du problème du mariage ou de la dot du sultan, du prétendant exigeant et du meilleur choix, selon l’exemple utilisé pour le raconter.
“Cela s’est avéré être un problème mathématique presque parfait : simple à expliquer, diabolique à résoudre, concis dans la réponse et intrigant dans ses implications”, commentent Brian Christian et Tom Griffths dans leur livre “Algorithms for Everyday Life”.
“En conséquence, cela s’est répandu comme une traînée de poudre dans les cercles mathématiques dans les années 1950”, ajoutent-ils.
En 1960, l’érudit Martin Gardner l’a popularisé en l’incluant dans sa rubrique Mathematical Games du magazine Scientific American.
Quelques années plus tard, on lui donna le nom sous lequel on l’appelle plus communément aujourd’hui : le problème de la secrétaire.
Quel que soit le nom que vous lui donnez, il s’agit d’un problème qui se produit dans divers domaines de la vie, depuis l’achat de biens et le choix des partenaires jusqu’à la recherche et l’informatique.
Parmi tant d’autres, le meilleur
Ce que vous voulez avoir sous la main, si vous vous trouvez à un carrefour comme celui de Kepler, c’est une stratégie optimale : un moyen d’augmenter vos chances d’être satisfait de votre décision.
Cela ne garantit pas le succès, ni que vous choisirez la meilleure option parmi toutes celles existantes, mais cela permet de maximiser la récompense ou de minimiser les coûts.
Cela ne semble-t-il pas très prometteur ?
Vous avez raison : lorsque vous avez le choix, idéalement vous rassemblez toutes les informations pertinentes, vous les examinez, vous y réfléchissez, et lorsque vous êtes clair sur ce que vous voulez, vous l’annoncez.
Mais pensons, par exemple, à des situations comme l’achat d’une maison.
En théorie, vous pourriez regarder tout ce qui est proposé, y réfléchir, le rechercher, le reconsidérer et enfin en choisir un.
Sauf que généralement ce « tout », c’est beaucoup, et il arrive toujours un moment où il faut arrêter de voir et prendre une décision.
À ce stade, ils ont peut-être déjà vendu ce que vous vouliez : si après de nombreuses recherches cela vous semblait le meilleur, il ne serait pas surprenant que d’autres personnes recherchant des propriétés similaires soient d’accord.
Les mathématiques à la rescousse ?
Nous le faisons étape par étape.
Disons que vous devez acheter une maison maintenant et qu’il n’y en a que deux à vendre dans la région avec les caractéristiques dont vous avez besoin.
La demande est forte, vous ne pouvez donc pas risquer d’abandonner la personne que vous aimez.
Dans ce cas, vous avez 1 chance sur 2 – soit 50 % – de choisir le meilleur.
Vous verrez la première propriété. C’est bien, mais tu ne sais pas si le deuxième sera meilleur ou pire.
Décidez vous-même si vous êtes susceptible de rejeter cette proposition et gardez cette dernière comme votre seule option. La probabilité que ce soit le plus pratique est toujours de 50 :50.
Mais si nous ajoutons une propriété supplémentaire, les choses changent.
Si vous deviez choisir au hasard, la chance d’acheter le meilleur est de 1 sur 3.
Cependant, vous pouvez augmenter vos chances en allant voir la première maison mais en la refusant.
Parce que vous ne savez rien des propriétés qu’ils vous montreront, vous n’avez donc aucun point de référence, ce qui est crucial pour classer quelque chose comme pire ou meilleur.
Pour cela, vous devez voir la première maison qui sert de bar, et quand ils vous montreront la seconde, vous saurez si elle est meilleure ou pire.
A ce moment-là, la première ne sera plus une option et la troisième restera une inconnue.
Mais si le second s’avère meilleur que le premier, cela vaudrait la peine de l’acheter. Et si c’est pire, il risque de rester avec le troisième.
Il y a deux autres choses que vous ne savez pas à l’avance.
La première est qu’il y a une maison qui est la meilleure, une autre qui est « ok » et une autre qui est la pire.
L’autre chose que vous ne savez pas, c’est l’ordre dans lequel ils vous seront présentés, et le résultat en dépend.
Avec trois options, il existe 6 combinaisons différentes, comme vous le verrez dans l’illustration ci-dessous, où la meilleure est la maison la plus colorée et la pire est la maison incolore.
N’oubliez pas qu’il s’agit d’une stratégie visant à augmenter la probabilité d’obtenir le résultat le plus positif, et non à le garantir.
Comme vous pouvez le constater, dans 3 cas possibles sur 6, vous obtenez la meilleure maison.
Soit 3/6 = 1/2, ce qui signifie que la probabilité d’obtenir le meilleur résultat passe de 33,33 % à 50 %. Et celui du choix du pire a été ramené de 33,33% à 16,6%.
Maintenant, à mesure que les options augmentent, ce qui dans notre exemple est le nombre de maisons à vendre, le nombre de propriétés que nous devrons voir et rejeter avant d’avoir une idée de la hauteur à laquelle nous pouvons placer la barre augmente.
C’est alors que nous passons à l’étape suivante de la théorie de l’arrêt optimal – en gros, quand arrêter d’observer et se préparer à choisir – et découvrons une règle qui aurait aidé Kepler.
36,8%
Passons au problème qui a donné à ce problème son nom le plus courant.
Un employeur doit choisir une secrétaire parmi 100 candidats.
Vous pouvez tous les interviewer, mais dès que vous avez terminé chaque entretien, vous devez l’embaucher ou la laisser partir pour toujours.
Combien devriez-vous interviewer sans embaucher pour augmenter les chances de choisir le meilleur ?
Vous vous souvenez de cette chose selon laquelle il s’agit d’un problème « simple à expliquer, diabolique à résoudre, concis dans la réponse » ?
Eh bien, nous vous l’avons déjà expliqué et heureusement, les mathématiciens l’ont résolu et ont prouvé que la réponse courte est 37 (ou, plus précisément, 36,8).
Connue sous le nom de « règle des 37 %, » elle fait référence à une série d’étapes, ou d’algorithmes, qu’une personne doit suivre pour prendre la meilleure décision à un moment donné.
Si vous passez 37 % de votre temps à faire des recherches avant de prendre une décision et que vous vous engagez ensuite à vous en tenir à la prochaine « meilleure » option que vous trouverez, vous aurez plus de chances de choisir la meilleure.
Selon cela, dans le cas des secrétaires, l’employeur devrait interviewer les 37 premiers candidats sans même envisager de les embaucher ou non.
Parmi eux, l’un d’eux se démarquera comme le meilleur.
En commençant par le candidat numéro 38, vous devez embaucher le premier qui est aussi bon ou meilleur que les meilleurs du groupe de test, même si vous en avez beaucoup d’autres à interviewer.
Naturellement, il s’agit d’un modèle qui, bien que raffiné, parle d’une solution optimale dont l’application dans la vie quotidienne est rarement aussi exacte.
Cependant, il sert de guide et met en valeur l’intérêt d’explorer, mais aussi de s’arrêter et de profiter de ce que l’on a appris pour décider.
Si Kepler avait suivi la formule, il aurait dû abandonner les quatre premiers de ses 11 candidats.
A partir du cinquième, il lui faudrait proposer en mariage la première qu’il aimait autant ou plus que la meilleure option de sa championne, la quatrième, cette femme « de carrure grande et athlétique » qu’il appréciait.
Et il s’avère que la première à l’aimer autant ou plus qu’elle fut la cinquième, Susanna Reuttinger, celle qui en avait assez de son indécision et se désintéressait.
Peut-être que la règle des 37 lui aurait épargné du temps, de la déception et du désespoir, mais à cette époque c’était encore inconnu et pour Kepler tout semblait avoir une fin heureuse.
Mais nous avons une fin heureuse pour vous, et beaucoup à 37 %.
Après réflexion, l’astronome décide de renvoyer à la cour la femme qu’il apprécie le plus parmi les 11 candidats et réussit malgré tout à conquérir son affection.
Comme il l’écrivait dans une lettre à un noble anonyme en 1613, sa nouvelle épouse « l’a conquis avec l’amour, l’humble loyauté, l’économie domestique, la diligence et l’amour qu’elle a donné à ses beaux-enfants ».
Par coïncidence, cette femme était Susanna.