Absentes des programmes ECE/ECS, les équations différentielles font leur grand retour dans le programme de mathématiques appliquées. Ce concept doit donc être maîtrisé du bout des doigts.
Mais qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction à ses dérivées. Cette fonction est l’inconnue, généralement notée ( y ), et dépend d’une variable, fréquemment notée ( t ) ou ( x ).
Il décrit comment une quantité change en fonction d’une autre, comme la vitesse d’un objet qui dépend du -. Ces équations permettent de modéliser divers phénomènes, comme la croissance démographique, le mouvement des objets ou les changements de température.
Il existe différents types d’équations différentielles et donc différentes méthodes pour les résoudre.
Équations différentielles du premier ordre
Les équations différentielles du premier ordre sont des équations de la forme [ y’ + ay = b
where ( b ) is a continuous function on an interval ( I ) and ( t in I ).
L’homogeneous equation associated with ( (E) ) is ( y’ + ay = 0 (E_{0}) ).
The solutions of ( (E_{0}) ) are all functions ( g
The solutions of ( (E)) are the sum of the solutions of ( (E_{0}) ) and a particular solution of ( (E)) .
If (b) is a constant, so is the particular solution.
If ( b ) is not a constant, the subject guides the student in his research.
Second order differential equations
Second order differential equations are equations of the form ( y” + ay’ + by = c
where ( c) is a continuous function on an interval ( I ) and ( t in I ).
L’homogeneous equation associated with ( (E) ) is ( y” + ay’ + by = 0 (E_{0}) ).
L’characteristic equation of ( (E) ) is (r^{2} + ar + b = 0 (E_{c}) ).
If ( (E_{c}) ) admits a unique solution on ( I ) denoted ( r_{0} ), then the solutions of ( (E) ) on ( I ) are all the functions of the form:
[ g
If ( (E_{c}) ) admits two solutions on ( I ) denoted ( r_{1} ) and ( r_{2} ), then the solutions of ( (E) ) on (I ) are all functions of the form:
[ g
The solutions of ( (E)) are the sum of the solutions of ( (E_{0}) ) and a particular solution of ( (E)) .
If ( c ) is a constant, so is the particular solution.
If ( c ) is not a constant, the subject guides the student in his research.
The trajectory
The trajectory of a differential equation ( (E)) on( I ) is of the set ({ (t, y
We can obtain a unique trajectory by imposing initial conditions of the type ( y(t_{0}) = y_{0})
If it is a first order differential equation, an initial condition will be required to obtain a unique trajectory.
If it is a second order differential equation, two initial conditions will be required to obtain a single trajectory.
We call equilibrium trajectory any trajectory associated with a constant solution.
A trajectory converges if ( y
Solve a linear differential system with constant coefficients
Soit ( I in mathbb{R} ).
We call a homogeneous linear differential system with constant coefficients a system of the form:
[
(S) begin{cases}
x’_1
where ( t in I) and (x_1, dots, x_n ) are n functions of the variable
The goal of solving this system is to find the functions (x_1, dots, x_n).
Step 1
Let’s rewrite the system in matrix form:
On pose pour tout (t in I) :
[
X
Then, the system ((S)) can be written as (X’
Attention : the following steps are only possible if A is diagonalizable!
Step 2
We diagonalize (A) in order to write it in the form:
(A = PDP^{-1}), where (D = begin{pmatrix} lambda_1 & 0 0 & ddots & 0 0 & 0 & lambda_n end{pmatrix} )
(D) is a diagonal matrix that contains the eigenvalues of (A) on its diagonal.
(P) is an invertible matrix composed of the eigenvectors associated with the eigenvalues of (A), organized in columns (be careful to take the same order as for D!)
Step 3
On pose (Y
We obtain, by derivation,[begin{align}
Y’
On a alors : (Y’
), car (D=P^{-1}AP )
Let (Y
)
(
Y’
)
(
Y’
)
(
Y’
)
(forall i in I, y_i
On a therefore (Y
Step 4
We find (X
Step 5 (if requested)
We solve the system with respect to imposed initial conditions.
Simply place the
: considering the system ( (S) X’
Example
Troubleshoot the system:[
begin{cases}
x’
Step 1
Let’s move on to matrix writing. We obtain:[
X’
Step 2
Diagonalisons A.
Do not hesitate to consult this article if you are not comfortable with the methods of diagonalizing a matrix.
Let (lambda in mathbb{R}),
(
lambda text{ is an eigenvalue of A} Leftrightarrow A-lambda I = 0
)
(
A-lambda I = begin{pmatrix}
-lambda & 1 & 1
-1 & 2 – lambda & 1
1 & 0 & 1 – lambda end{pmatrix}
)
We use the Gauss pivot method
We do (L_{1}leftrightarrow L_{3}):[
begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-lambda
-1 & 2-lambda & 1
-lambda & 1 & 1
end{pmatrix}
]
Puis (L_{2}leftarrow L_{2}+L_{1}) et (L_{3}leftarrow L_{3}+lambda L_{1}) :[
begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-lambda
0 & 2-lambda & 2 -lambda
0 & 1 & -lambda^{2} + lambda + 1
end{pmatrix}
]
Nous effectuons une disjonction de cas
Pour (2 – lambda ne 0), nous faisons (L_{2}leftarrow frac{1}{(2 -lambda)L_{2}}) :[
begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-lambda
0 & 1 & 1
0 & 1 & -lambda^{2} + lambda + 1
end{pmatrix}
]
Ce qui simplifie les calculs de (L_{3}leftarrow L_{3}- L_{2}) :[
begin{pmatrix}
1 & 0 & 1-lambda
0 & 1 & 1
0 & 0 & -lambda^{2} + lambda
end{pmatrix}
]
En pose ( A_{lambda} = commencer{pmatrix}
1 & 0 & 1-lambda
0 & 1 & 1
0 & 0 & -lambda^{2} + lambda
fin{pmatrix})
commencer{aligner}
lambda text{ est une valeur propre de A} & Leftrightarrow -lambda^{2} + lambda = 0
& Flèche gauchedroite lambda (1 – lambda) = 0
& Leftrightarrowlambda = 0 texte{ou}lambda =
fin{aligner}
Pour (2 – lambda = 0), soit (lambda = 2)
Donc (A – lambda I = A – 2I)[ A – 2I = begin{pmatrix}
1 & 0 & -2
0 & 0 & 0
0 & 1 & -1
end{pmatrix}
]
On observe que la deuxième colonne est nulle, donc le rang de la matrice est inférieur ou égal à 2, donc 2 est une valeur propre de A.
Ainsi, les valeurs propres de A sont ( fbox {(0, 1 text {and} 2)} ).
On calcule ensuite les espaces propres associés à 0, 1 et 2
Soit ( X = start{pmatrix} x y zend{pmatrix}),
Pour la valeur propre 0 :
(
commencer{aligner}
X dans E_{0} & flèche gauchedroite (A-0I)X = O
& Flèche gauchedroite début{cas} x + z = 0 y + z = 0 fin{cas}
& Flèche gauchedroite début{cas} x = – z y = – z fin{cas}
& Flèche gauchedroite X dans le texte{Vect}begin{pmatrix} 1 1 – 1 end{pmatrix}
fin{aligner}
)
Ainsi ( fbox {( E_{0} = text{Vect}begin{pmatrix} 1 1 -1 end{pmatrix} )} )
Pour la valeur propre 1 :
(
A_{1} = début{pmatrix}
1 & 0 & 0
0 & 1 & 1
0 et 0 et 0
fin{pmatrix}
)
(
commencer{aligner}
X dans E_{1} & Leftrightarrow A_{1}X = O
& Flèche gauchedroite début{cas} x = 0 y + z = 0 fin{cas}
& Leftrightarrow start{cases} x = 0 frac{1}{2} x y = – z end{cases}
& Flèche gauchedroite X dans le texte{Vect}begin{pmatrix} 0 1 – 1 end{pmatrix}
fin{aligner}
)
Ainsi ( fbox {( E_{1} = text{Vect}begin{pmatrix} 0 1 -1 end{pmatrix} )} )
Pour la valeur propre 2 :
(
A – 2I = début{pmatrix}
-2 & 1 & 1
-1 & 0 & 1
1 & 0 & -1
fin{pmatrix}
)
(
commencer{aligner}
X dans E_{2} & Flèche gauchedroite (A-2I)X = O
& Flèche gauchedroite début{cas} -2x + y + z = 0 -x + z = 0 x – z = 0 fin{cas}
& Flèche gauchedroite début{cas} 2x + y + x = 0 x = z fin{cas}
& Leftrightarrow start{cases} -x + y = 0 x = z end{cases}
& Flèche gauchedroite début{cas} y = x x = z fin{cas}
& Leftrightarrow X dans le texte{Vect}begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix}
fin{aligner}
)
Ainsi ( fbox {(E_{2} = text{Vect}begin{pmatrix} 1 1 1 end{pmatrix} )} )
A est d’ordre 3 et a trois valeurs propres, donc ( fbox {( text{A est diagonalisable } )} ).
On peut alors écrire (A) sous la forme (A=PDP^{-1})
avec (
D = début{pmatrix}
0 & 0 & 0
0 & 1 & 0
0 & 0 & 2
fin{pmatrix}
)
Et ( P = début{pmatrix}
1 & 0 & 1
1 & 1 & 1
-1 et -1 et 1
fin{pmatrix})
Calculons ( P^{-1}) en utilisant la méthode du pivot gaussien. Si vous ne savez pas comment inverser une matrice, vous pouvez consulter cet article.[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0
-1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
end{array} right]
Sur un :
]
Nous faisons : ( L_{2} flèche gauche L_{2}+L_{1}) :[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0
-1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1
end{array} right]
]
Puis ( L_{3} flèche gauche L_{3}+L_{1}) :[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0
0 & -1 & 2 & 1 & 0 & 1
end{array} right]
]
Et ( L_{3} flèche gauche L_{3}+L_{2}) :[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0
0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1
end{array} right]
]
Puis ( L_{3} flèche gauche frac{1}{2}L_{3}) :[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0
0 & 0 & 1 & 0 & frac{1}{2} & frac{1}{2}
end{array} right]
]
Et ( L_{1} flèche gauche L_{1}-L_{3}) :[
left[ begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -frac{1}{2} & -frac{1}{2}
0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0
0 & 0 & 1 & 0 & frac{1}{2} & frac{1}{2}
end{array} right]
]
Ainsi ( fbox {( P^{-1} = start{pmatrix}
1 & -frac{1}{2} & -frac{1}{2}
-1 & 1 & 0
0 & frac{1}{2} & frac{1}{2}
fin{pmatrix} ) } )
Étape 3
Soit (Y
On obtient, par dérivation,
On a alors : (Y’
), voiture (D=P^{-1}AP )
Soit (Y
X’
Oui
fin{cas}
)
Soit ( (C_{1}, C_{2}, C_{3}) dans mathbb{R}^{3} )
(
Oui
fin{cas}
)
On a donc (Y
C_{3}e^{2t}
fin{pmatrix})
Étape 4
Trouvons (X
X
fin{pmatrix}[ fbox {( begin{cases}
C_{1} + C_{3}e^{2t}
C_{1} + C_{2}e^{t} + C_{3}e^{2t}
– C_{1} – C_{2}e^{t} + C_{3}e^{2t}
end{cases} )}
]
)
La solution du système initial est donc
N’hésitez pas à refaire cet exercice encore et encore jusqu’à ce que vous ayez compris et mémorisé les différentes étapes de résolution d’un système d’équations différentielles.
Vous pouvez ensuite explorer ce concept plus en profondeur grâce à ces articles :
Vous pouvez également approfondir votre maîtrise en vous mettant au défi avec ces articles :
Vous pouvez retrouver ici le méga-répertoire qui contient tous les records du concours et les réponses. Vous pouvez également accéder à toutes nos autres ressources mathématiques ici !
