La séquence de Fibonacci pour comparer les vitesses du chevalier et du roi sur un échiquier

Quand on joue aux échecs, on sait que le chevalier est plus rapide que le roi pour atteindre une case donnée, mais quel est ce rapport de vitesse ?

C’est ce qu’a calculé Christian Táfula Santos, doctorant au Département de mathématiques et de statistique de l’Université de Montréal, dont la démonstration a fait l’objet d’une publication sur le site de science ouverte arXiv, qui archive près de 2,4 millions d’articles scientifiques dans différents champs.

Le rapport qu’il a découvert est de 24/13, c’est-à-dire que le chevalier est, en moyenne, 1,85 fois plus rapide que le roi pour atteindre une case sur un échiquier – ce qui signifie que si le chevalier met environ 13 mouvements pour atteindre une certaine case, il il faudra environ 24 heures au roi pour l’atteindre à son tour.

Mais ce n’est pas tant la réponse que le raisonnement derrière ce rapport qui est particulier : Christian Táfula Santos s’appuie sur les travaux du mathématicien Askold Khovanskii, qui décrit comment certains ensembles de nombres grandissent lorsqu’ils sont ajoutés, pour explorer toute une famille de « cavaliers modifiés ». » et créez un pont inattendu avec la célèbre séquence de Fibonacci.

Des « supercavaliers » sur un échiquier infini

Dans cette démonstration, Christian Táfula Santos remplace le cavalier traditionnel et son mouvement en forme de L par un « superrider » capable de déplacer plusieurs un de boîtes dans une direction et un certain nombre b de cases dans l’autre. Le « superrider » fait référence à un cas où un et b sont premiers entre eux et dont la somme est impaire.

“La progression du pilote traditionnel vers le superrider s’inscrit dans une approche mathématique de généralisation”, explique-t-il. J’ai donc élargi le concept en essayant de savoir ce qui se passerait si le cavalier pouvait bouger un boîtes dans une direction et b carrés dans l’autre au lieu du mouvement habituel.

De cette façon, le superrider parvient à effectuer un mouvement plus large, en se déplaçant de deux cases dans un sens et de trois dans l’autre, où un = 2 et b = 3. Le rapport de ce coup au roi devient donc 90/31, ce qui signifie qu’il est environ 2,9 fois plus rapide en moyenne que le roi.

« Il est donc aussi mathématiquement logique de passer de la généralité aux cas particuliers, en imaginant un « fibocavalier » : si un et b sont des nombres de Fibonacci, les vitesses résultantes sont liées par le nombre d’or – soit 1,618… –, reflétant le comportement de la séquence de Fibonacci ! ajoute le doctorant.

La démonstration de Christian Táfula Santos contredit ainsi l’intuition selon laquelle la vitesse moyenne du chevalier est double, puisqu’il peut atteindre certaines cases deux fois plus vite que le roi.

Cependant, sur certains chemins diagonaux, le roi est plus lent : le facteur de vitesse du chevalier passe à 3/2, soit 1,5 fois plus rapide en moyenne.

“Cela dit, mon projet de recherche dépasse le cadre des échecs”, conclut Christian Táfula Santos. Il établit des liens entre différentes branches des mathématiques, dont la théorie des nombres, la géométrie et la combinatoire, et ouvre des perspectives pour l’étude d’autres parties et mouvements dans des espaces à plus de deux dimensions.

Cela montre qu’un jeu millénaire comme les échecs peut encore révéler des propriétés mathématiques insoupçonnées !