En 2025, ça bouge pour les conjectures mathématiques !

A priori, 2025 n’est pas un chiffre particulier. Le carré de 45, il admet quinze diviseurs, fait donc partie des nombres composés, mais il n’est ni premier ni palindrome ni parfait ni Fibonacci. En revanche, l’année 2025 pourrait être importante pour les mathématiques, et, pourquoi pas, marquer la fin de décennies et parfois de siècles d’attente de grandes conjectures. Car dans ce domaine, il y a du nouveau.

Plus tôt ce mois-ci, Pham Tiep, mathématicien de l’Université Rutgers du Nouveau-Brunswick, a réussi à résoudre deux problèmes ouverts remontant à plus de soixante ans, dont la conjecture de Brauer. Ce qui peut paraître récent au regard d’autres conjectures, comme celle liée à nombres premiers jumeauxouvert depuis plus de deux millénaires et stipulant qu’il existe une infinité de nombres premiers séparés de deux unités. L’un des problèmes résolus par Tiep a été posé par Richard Brauer en 1955 et concerne la théorie des groupes finis. En termes simples, Tiep a découvert une règle cachée qui nous aide à mieux comprendre l’organisation et les symétries de la nature et de la science. Mais cette nouvelle n’est peut-être qu’un avant-goût de ce qui nous attend.

Le Saint Graal des mathématiques

Il y a effectivement aussi du nouveau concernant le Saint Graal des mathématiques, l’Everest de la recherche, à savoir l’inaccessible Hypothèse de Riemann. Alors certes, ce n’est ni résolu ni prouvé – si cela avait été le cas, même les journaux télévisés en auraient parlé – mais il y a néanmoins une avancée à ce sujet. La renommée de l’hypothèse de Riemann réside dans sa relation avec la distribution des nombres premiers. Le démontrer reviendrait à prouver qu’il y a un ordre caché derrière eux. Sa formulation est cependant extrêmement difficile. Il s’agit des zéros d’une fonction (c’est-à-dire des valeurs là où elle s’annule) – la fonction zêta de Riemann pour ne pas la nommer – et de la partie réelle de ces zéros, supposée toujours la même, soit ½ , stigmatisant leur répartition sur une même ligne. Le rapport avec la première réside dans le fait que la fameuse fonction zêta (somme infinie) peut être assimilée à un produit également infini relatif à tous les nombres premiers.

Infini et continu

La nouveauté est l’œuvre de deux chercheurs, James Maynard (qui est aussi le mathématicien qui a déterminé le plus petit écart se reproduisant à l’infini entre deux nombres premiers consécutifs) et Larry Guth, qui a reformulé l’ensemble du problème. En supposant que si un zéro de la fonction zêta a une partie réelle distincte de 1/2, alors il doit être associé à un polynôme de Dirichlet porteur d’une très grande valeur. Il leur restait donc à prouver que lesdits polynômes, dans le cas présent, ne peuvent pas prendre une valeur aussi grande. Les deux hommes ont-ils posé les bases d’une future manifestation ? On a envie de dire oui, d’autant que leur méthode n’est pas sans rappeler celle deAndrew Wilesqui a démontré le dernier théorème de Fermat en 1994 après plus de 350 ans en utilisant des outils mathématiques (courbes elliptiques et formes modulaires) a priori sans rapport avec la théorie des nombres. Mais les choses bougent aussi du côté de l’hypothèse du continuum, qui a la particularité d’être le premier problème du La liste de Hilbert et s’étant révélé indécidable en 1963.

En sommes-nous sûrs ? Non, exactement. Cette hypothèse, qui nécessite également un bagage mathématique considérable pour être comprise, remet en question l’existence d’un ensemble dont le cardinal (nombre qui sert à mesurer la taille des ensembles) se situerait entre celui des entiers naturels et celui des nombres réels, tous deux infini. Différentes manifestations, dont une, célèbre, de Kurt Godel en 1938, retournez coup sur coup les solutions à l’hypothèse. D’où son indécidabilité. En d’autres termes, que ce soit vrai ou faux n’a aucune incidence sur la théorie des ensembles dont il dépend. Selon Georg Cantorpère des nombres transfinis et des théories qui en découlent, il faut que ce soit vrai ou faux, toute autre alternative tendant à démontrer que la compréhension que l’on peut avoir de l’infini est artificielle. Plus simplement, l’indécidabilité ne résout pas la question de l’infini.

Discuté récemment sur les sites et magazines, le problème est donc sur la table. D’autres énigmes mathématiques suivront-elles ? Dans la liste de Hilbert établie en 1900 et citée précédemment, il en reste cinq non résolues, plus quelques-unes partiellement résolues. C’est sans compter les conjectures en dehors de cette liste (l’existence ou non de Noms Lychrelle conjecture de Syracuseetc). Ils ont tous un prix, rappelez-vous. Nous espérons pouvoir en reparler bientôt.

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