L’intégrale de Dirichlet (hors programme ECG) – .

L’intégrale de Dirichlet joue un rôle central dans de nombreux domaines des mathématiques, notamment l’analyse et la théorie des nombres. Il est particulièrement pertinent car il introduit les concepts fondamentaux de convergence et de manipulation des intégrales impropres. Des notions que l’on retrouve fréquemment dans le test Maths II. Cette intégrale se distingue par son apparente simplicité et sa profondeur sous-jacente, fournissant du matériel pour explorer les propriétés analytiques. Bien que cette notion soit extérieure au cursus, sa compréhension approfondie vous permettra de préparer les épreuves parisiennes et les oraux de mathématiques.

Définition de l’intégrale de Dirichlet

L’intégrale de Dirichlet est définie par la relation suivante :

[ fbox{ (int_{0}^{+infty} frac{sin(x)}{x} mathrm{d}x)} ]

À première vue, cette intégrale peut paraître déroutante, car elle s’étend sur un intervalle infini et le dénominateur s’annule à (x = 0). Cependant, elle converge vers une valeur bien définie que nous verrons ci-dessous.

Mais commençons par le plus important, c’est à dire montrer que cette intégrale converge. Ce qui ne paraît pas évident à première vue.

Démonstration de la convergence de l’intégrale de Dirichlet

Il est particulièrement important de maîtriser cette démonstration de convergence, car la première question qui vous serait posée par écrit ou oralement serait de prouver que cette intégrale converge.

L’intégrale de Dirichlet est définie par l’expression ( displaystyle int_{0}^{+infty} frac{sin(x)}{x} dx). Pour démontrer sa convergence, il est essentiel de considérer l’intégrale sur deux intervalles distincts : de 0 à 1, et de 1 à (+infty).

Sur le premier intervalle, la fonction (displaystyle frac{sin(x)}{x}) (c’est-à-dire l’intégrande) peut être étendue par continuité jusqu’à (x = 0) en fixant sa valeur à 1, rendant ainsi la fonction continue et bornée sur cet intervalle fermé. Cette extension peut être démontrée en utilisant les extensions limitées. La convergence sur cet intervalle est donc garantie par le théorème de convergence des fonctions continues sur un intervalle fermé.

Démontrer la convergence de l’intégrale de Dirichlet sur l’intervalle ([1,+infty]), nous introduirons (A > 1) et nous procéderons par intégration par parties (IPP). Cette méthode est particulièrement adaptée à notre cas, car elle permet de transformer l’intégrale initiale en une forme plus facilement analysable en termes de convergence. L’idée clé derrière l’IPP est d’exploiter la dérivée de (displaystyle frac{1}{x}) pour séparer l’intégrale en deux parties, dont l’une sera plus facile à évaluer en termes de convergence.

Soit l’intégrale (displaystyle I = int_{1}^{A} frac{sin(x)}{x} mathrm{d}x). Pour appliquer l’IPP, nous identifions les termes (u) et (v) comme suit : ( displaystyle u = frac{1}{x}) dont la dérivée est ( displaystyle – frac{1}{x^2} ) et (displaystyle v^{prime} = sin(x) ) dont la primitive est (v = -cos(x)).

Donc :

( style d’affichage I = gauche[-frac{cos(x)}{x}right]_{1}^{A} – int_{1}^{A} frac{cos(x)}{x^2} mathrm{d}x )

( style d’affichage I = -frac{cos(A)}{A} + frac{cos(1)}{1} – int_{1}^{A} frac{cos(x) }{x^2} mathrm{d }X )

Examinons maintenant la convergence de cette expression lorsque (A) tend vers l’infini. Le terme (displaystyle -frac{cos(A)}{A}) tend vers 0 lorsque (A) tend vers l’infini, car (cos(A)) est borné par ([-1, 1]) et (displaystyle frac{1}{A}) tend vers 0 (ceci est formalisé à l’aide du théorème de police). Le terme (displaystyle frac{cos(1)}{1}) est simplement une constante.

Considérons l’intégrande (displaystyle frac{cos(x)}{x^2}) multiplié par (x^{frac{3}{2}}), c’est-à-dire (displaystyle frac {cos(x)}{x^2} cdot x^{frac{3}{2}} = frac{cos(x)}{x^{frac{1}{2}}} ).

D’après le théorème de police, la limite de cette expression lorsque (x) tend vers l’infini est : ( displaystyle lim_{x to infty} frac{cos(x)}{x ^{frac{1}{2}}} = 0 ). Ainsi, la convergence de ( displaystyle int_{1}^{A} frac{cos(x)}{x^2} mathrm{d}x) lorsque (A) tend vers l’infini est assurée par le critère de Riemann.

En conclusion, en faisant tendre (A) vers l’infini, on voit que chaque composante de l’expression de (I) converge. Ce qui démontre que l’intégrale de Dirichlet sur l’intervalle ([1, infty)) est convergente. Cette approche par intégration par parties non seulement confirme la convergence de l’intégrale, mais illustre aussi une technique puissante pour analyser la convergence d’intégrales impropres.

Démonstration de la valeur de l’intégrale de Dirichlet

Maintenant que nous avons établi la convergence de l’intégrale, il est intéressant de connaître sa valeur, nous avons :

[ fbox{(int_{0}^{+infty} frac{sin x}{x} mathrm{d}x = frac{pi}{2} )} ]

La valeur de l’intégrale de Dirichlet (displaystyle int_{0}^{+infty} frac{sin(x)}{x} mathrm{d}x) peut être établie en utilisant a par décomposition en intégrales partielles sur des intervalles finis et en utilisant méthodes d’intégration par parties ou par techniques de sommation en série. Une méthode directe pour démontrer sa valeur implique souvent des techniques avancées largement extérieures au programme ECG. La démonstration de ce résultat ferait l’objet d’au moins une partie d’une épreuve écrite.

On peut néanmoins proposer une piste de démonstration qui serait celle proposée dans un sujet. La méthode consiste à poser
[ J_n = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin((2n+1)x)}{sin(x)} mathrm{d}x ; ; text{et} ; ; K_n = int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin((2n+1)x)}{x} mathrm{d}x ]

Il faut d’abord montrer que la différence de ces deux suites tend vers 0. Ensuite, il faut montrer que la première suite est constante et égale à (frac{pi}{2}). Enfin, il faut montrer que la deuxième suite tend vers l’intégrale de Dirichlet. Il est donc possible de conclure que : ( displaystyle int_{0}^{+infty} frac{sin x}{x} , mathrm{d}x = frac{pi}{2 }.)

Caractère semi-convergent de l’intégrale de Dirichlet

Cette intégrale mérite d’être connue, car elle offre l’exemple d’une intégrale impropre semi-convergente. La semi-convergence, dans le contexte des intégrales, fait référence à une situation dans laquelle une intégrale impropre converge vers une valeur finie sans converger absolument.

Cela signifie que bien que l’intégrale de la fonction sur un intervalle donné tend vers une limite finie, l’intégrale de la valeur absolue de cette fonction sur le même intervalle diverge. Autrement dit, la convergence de l’intégrale dépend de l’alternance des signes de la fonction et pas seulement de son amplitude.

Le caractère semi-convergent de l’intégrale de Dirichlet fait référence au fait que bien que l’intégrale (displaystyle int_{0}^{+infty} frac{sin(x)}{x} mathrm{ d}x) converge, l’intégrale du la valeur absolue (displaystyle int_{0}^{+infty} left|frac{sin(x)}{x}right| mathrm{ d}x) diverge.

Conclusion

En résumé, l’intégrale de Dirichlet (displaystyle int_{0}^{+infty} frac{sin(x)}{x} mathrm{d}x), est un sujet fascinant qui donne un aperçu approfondi des concepts de convergence et calcul intégral. Bien que son évaluation directe puisse paraître complexe en raison de l’intervalle infini et du point singulier en (x = 0), elle fournit un outil mathématique doté de nombreuses propriétés en analyse. Ce qui fait d’elle une candidate idéale pour les matières de concours.

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